دانلود پایان نامه:روش جدید مرتبه چهارم و معادلات غیر خطی موج

متن کامل پایان نامه مقطع کارشناسی ارشد رشته :ریاضی

گرایش :آنالیز عددی

عنوان : روش جدید مرتبه چهارم و معادلات غیر خطی موج

دانشگاه آزاد اسلامی

واحد تهران مرکزی

دانشکده پیامبر اعظم(ص) ،گروه ریاضی

پایان نامه برای دریافت درجه کارشناسی ارشد «M.Sc»

گرایش : آنالیز عددی

 موضوع :

روش جدید مرتبه چهارم و معادلات غیر خطی موج

استاد راهنما

دکتر جلیل  رشیدی نیا

استاد مشاور

دکتر مجید امیر فخریان

تابستان 1392

برای رعایت حریم خصوصی نام نگارنده پایان نامه درج نمی شود

(در فایل دانلودی نام نویسنده موجود است)

تکه هایی از متن پایان نامه به عنوان نمونه :

(ممکن است هنگام انتقال از فایل اصلی به داخل سایت بعضی متون به هم بریزد یا بعضی نمادها و اشکال درج نشود ولی در فایل دانلودی همه چیز مرتب و کامل است)

فهرست مطالب

عنوان                                                                                                    صفحه

 

مقدمه. 1

فصل اول: معادلات دیفرانسیل

1-1- معادلات دیفرانسیل.. 7

1-2- معادلات کلاسیک مربوط به فیزیک ریاضی.. 8

1-3- کاربرد معادلات هذلولوی در فیزیک… 10

1-4- حل عددی معادله موج.. 11

1-5- حل عددی معادلات غیر خطی.. 14

1-6- روش نقطه ثابت… 14

1-7-روش نیوتن.. 17

1-8- تعمیم روش نیوتن برای حل دستگاه های غیر خطی.. 18

1-9- همگرایی.. 22

فصل دوم: روش ضمنی مسیرمتناوب و برون یابی ریچاردسون

2-1- افرازها و نمادها 25

2-2-  روش ضمنی مسیرمتناوب برای حل معادلات موج دو بعدی.. 26

2-3-تجزیه و تحلیل  روش… 31

2-4- همگرایی روش… 33

2-5- روش ضمنی مسیر متناوب فشرده تعمیم یافته. 39

2-6- تجزیه و تحلیل  روش… 43

2-7-همگرایی روش… 44

2-8- روش برونیابی ریچارد سون. 51

فصل سوم: روش جدید مرتبه چهارم برای حل دسته‌ای از معادلات موج غیرخطی

3-1-مقدمه. 54

3-2- روش ضمنی مسیر متناوب فشرده سه ترازی.. 54

3-3- تجزیه و تحلیل همگرایی.. 61

3-4- خطای نرم ….. 65

3-5- حداکثر خطا 70

3-6- بهبود دقت  در ابعاد زمان. 76

فصل چهارم: مثالها و نتایج عددی

4-1- مثال‌های عددی.. 83

نتیجه گیری.. 113

منابع.. 114

چکیده پایان نامه (شامل خلاصه، اهداف، روش های اجرا و نتایج به دست آمده) :

در این پایان نامه  روش تفاضلی فشرده سه ترازی برای حل عددی معادله موج غیر خطی ارایه میشود . برای رفع بغرنجی و حل سیستم های حاصل، ازتکنیک روش ضمنی مسیر متناوب استفاده  می کنیم که این روش تفاضلی دارای مرتبه همگرایی  در و است وسپس با به کارگیری برون یابی ریچاردسون براساس پارامترهای سه ترازی زمانی روشی با دقت مرتبه چهارم در زمان و مکان ارائه شده است.

Abstract

A new three-level compact alternating direction implicit (ADI) difference scheme is derived for solving a kind of nonlinear wave equations. Basing on a fourth order approximation to the exact solution at the first time level, it is shown by the energy method that the numerical solution is conditionally convergent with an order of in H1- and L∞-norms. A new Richardson extrapolation formula based on three time-grid parameters is given to get numerical solution of fourth-order accuracy in both time and space. The performance of the new algorithm is illustrated by numerical experiments.

مقدمه

در این پایان نامه درصدد تقریب عددی یک دسته از مسائل اولیه با مقدار مرزی از معادلات موج غیرخطی ذیل هستیم

، ، و  تابع هایی به اندازه ی کافی هموار هستند که سرعت همگرایی و سازگاری روش دیفرانسیل مسائل مورد نظر را حفظ می کنند.در معادله ذکر شده ثابت های  مثبت و ثابت  نا منفی می باشد. موارد خاص معادله موج ذکر شده در بالا در مجموعه ای گسترده از مسائل فیزیک ، شیمی ، زیست شناسی و…مطرح می شود.

به عنوان مثال اگر مثبت و و معادله مذکور به صورت معادله تلگراف
در می آید که دسته ای از پدیده هایی مانند: انتشار موج های الکترو مغناطیس در ابر رسانه ها و همین طور انتشار فشار امواج در گردش پلاستیکی خون در سرخ رگ ها و یا حرکت دوبعدی ذرات در جریان سیالات را بیان می کند.

زمانی که  و  باشد معادله ذکر شده یک معادله معروف غیر خطی کلین-گوردون می شود.

زمانی که با و  معادله بالا به نوعی معادله ی     سینو-گوردون متعلق است.

معادلات سینو- گوردون و کلین- گوردون همچنین مدل برخی از پدیده های فیزیکی[43 ،45 ،52] شامل انتشار حدفاصله در اتصال جوزفسون میان دو ابر رسانه ، تعامل راه حل ها در یک پلاسما بدون برخورد و … از نوع معادلات موج هذلولوی هستند.

آنالیز جواب معادلات سینو- گوردون و کلین- گوردون در [52،53،57] بحث و بررسی شده است.

در طی سالیان محققان توجه زیادی به توسعه و کاربرد روش های  فشرده با مرتبه بالا داشته اند.

روش ها فشرده مرتبه بالا در مقایسه با روش استاندارد دارای مزایای منحصر بفرد همچون دقت بالاو فشردگی برای امواج با دوره تناوب بالا هستند و دارای کاربرد در مسائل بسیاری  مانند مسائل مالی، مکانیک کوانتوم ، بیولوژی و دینامیک سیالات می باشند. روش های تفکیک اپراتور همچون روش های ضمنی مسیر متناوب و روش های یک بعدی موضعی ثابت شده در تقریب جواب های مسایل هذلولوی چند بعدی بسیار مناسب و مفید هستند.

روش ضمنی مسیر متناوب اولین بار توسط دونالد پیچمن و هنری واچفورد درسال 1955و جیم داگلاس و راچفورد [23و29] برای حل ضمنی معادله گرمای دو بعدی مطرح گردید. این روش را در آن زمان با محدودیت های کامپیوتری موجود با ارائه روش تجزیه در تراز زمانی نصف گام حل کردند. آن ها ابتدا معادله گرما را در یک بعد و سپس در بعد دوم حل کردند هر یک از این افراد یک ماتریس سه قطری منحصر به فرد به دست اوردند و این روش به مرحله اجرا درامد. روش ضمنی مسیر متناوب به سرعت توسط داگلاس و راچفورد (1956) ، بریان (1961) و داگلاس(1962) به سه بعد توسعه یافت و داگلاس پیچمن و راچفورد پایداری و همگرایی روش را ثابت کردند.به خاطر اهمیت معادلات دیفرانسیل تحقیق روی الگوریتم های عددی آن ها همیشه یک موضوع فعال در محاسبات عددی به شمار می آید . امروزه روش های تفاضلی به طور مداوم مطرح می شوند و روش ضمنی مسیر متناوب برای معادلات چند بعدی به واسطه پایداری نا مشروط و کارایی بالا مورد توجه هستند.

روش یک بعدی موضعی که توسط دیاکولو [10و11]  ارائه شد روش کارآمدی است که معادلات دویا سه بعدی را پی در پی  به دستگاه های یک بعدی کاهش می دهد و روش یک بعدی موضعی توسعه یافته توسط وانگ [12و6] را می‌توان برای معادلات ناهمگن به کاربرد اما وجود عبارت های اختلالی زیاد  دقت  ان را تحت تأثیر قرار می‌دهد . روش ضمنی مسیر متناوب مرتبه دوم توسط کین را فقط می توان برای معادلات سه بعدی با شرایط مرزی همگن به کاربرد. با توجه به کاربرد روش های ضمنی مسیر متناوب برای حل معادلات هذلولوی و سهموی با مقادیر اولیه و مرزی این گونه روش ها مورد توجه قرار گرفتند [6و14و11و12و13و14و16و21و32] نتایج عددی به دست امده با دقت بالا و هزینه های محاسباتی پایین به توسعه روش ضمنی مسیر متناوب فشرده مرتبه بالا منجر شد. برای آشنایی بیشتر با روش ضمنی مسیر متناوب خواننده علاقه‌مند را به [21]  ارجاع می دهیم. به تازگی توسعه و کاربرد روش های تفاضل متناهی فشرده برای حل معادلات نفوذ- انتقال پایای دوبعدی ، با استفاده از بسط سری ها معادله دیفرانسیل را به یک روش تفاضل متناهی فشرده نه نقطه ای مرتبه چهار توسعه دادند که جواب های عددی مرتبه بالا را نتیجه گرفتند به طور مشابه طرح فشرده مرتبه بالا توسط افراد دیگر توسعه یافت [19و28]  دنیس و هاتسون [7]  طرح مشابه با [12] را با استفاده از روش دیگر بدست آوردند.

نوی و تن [22] روش تفاضلی متناهی مرتبه سوم را برای حل معادلات نفوذ-انتقال ناپایای یک بعدی گسترش دادند این روش دارای دقت بالا و هزینه محاسباتی پایین و پایداری نامشروط است.

نوی و تن همچنین طرح ضمنی فشرده نه نقطه ای مرتبه سوم را برای حل معادلات نفوذ – انتقال ناپایای دو بعدی توسعه دادند این طرح دارای دقت مرتبه سه در مکان و مرتبه دو در زمان و ناحیه پایداری بزرگ است.

کالیتا و همکاران [14و29] مجموعه ای از طرح های فشرده مرتبه بالا را برای حل معادلات نفوذ-انتقال ناپایای دو بعدی با ضرایب معین بدست آوردند. به تازگی کارا و ژنگ یک روش ضمنی مسیر متناوب مرتبه بالا رابرای حل معادلات نفوذ- انتقال ناپایای دو بعدی ارائه کردند این روش که در آن روش کرانک نیکلسون برای گسسته  سازی زمان و فرمول تفاضل متناهی فشرده مرتبه چهار چند نقطه ای مربوط به معادله نفوذ- انتقال ناپایای یک بعدی برای گسسته سازی مکانی استفاده می شود، دارای دقت مرتبه چهار در مسیر مکان و مرتبه دو در مسیر زمان و پایداری نامشروط و هزینه محاسباتی پایین است.

اخیرا روش های فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب که دارای دقت بالای روش های فشرده مرتبه بالا و کارآیی بالای روش های ضمنی مسیر متناوب هستند با موفقیت به جواب مسایل هذلولوی منجرشده است . بطور مثال در [45] ، کویی یک روش را برای معادلات سینو-گوردون ، تعمیم یافته دو بعدی بکار برد که این روش با مرتبه دو در زمان و مرتبه چهار در مکان است. یک دسته از روشهای فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب همواره پایدار برای معادلات تلگرافی چند بعدی در [63] تعبیه شده است. این روشها دارای دقت مرتبه چهار در مکان هستند ، اما تنها دارای دقت مرتبه دو در زمان می باشند.

جهت کارایی بیشتر محاسباتی ، کاربرد برون یابی ریچاردسون در روش فشرده مرتبه بالا در مسائل سینو-گوردون جایگزینی مناسب است . لوییس فراید ریچارد سون که یک ریاضی دان و فیزیک دان انگلیسی بود در قسمت هواشناسی و پیشگویی وضع هوا کار می کرد ریچاردسون شهرتش علاوه بر برون یابی در قسمت های دیگر ریاضی نیز مشهور است در سال1927روش برون یابی ریچاردسون توسط ریچاردسون و گرانت در مقاله ای منتشرشد براساس این مقاله این برون یابی را می توان در هر تقریب زمانی استفاده کرد این روش در مسایل آنالیز عددی کاربرد زیادی دارد ایده ای که پشت این روش است آن است که فرمول های با مراتب پایین تر که خطای برشی آن ها شناخته شده است مرتبه دقت آن ها بالا می رود یعنی از این روش برای ترکیب با روش هایی با مرتبه همگرایی پایین تر استفاده می شود تا دقت آن روش هارا بالا ببرد [72و73و74] .

به طور مثال ترکیب روش فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب با یک برون یابی ریچاردسون در حل معادلات سهموی خطی در [60] به کار برده شده است. ما ترکیب روش های فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب با برون یابی ریچاردسون را برای حل مسائل هذلولوی بررسی خواهیم کرد. در این پایان نامه با روش هایی مشابه با روش های به کار رفته در [45] ، یک سه ترازی مرتبه دوم در زمان و مرتبه چهار در مکان به دست می اوریم و روش های فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب برای حل معادله اولیه مرزی ذکر شده طراحی می کنیم. سپس یک برون یابی ریچاردسون بر اساس  پارامترهای سه ترازی برای ایجاد جواب نهایی با مرتبه چهارم در زمان و مکان ایجاد می شود . و با روش گسسته سازی انرژی ، خطا را تخمین میزنیم . همچنین یادآوری می کنیم که یک برون یابی ریچاردسون دو ترازی در روش مرتبه دو نمی تواند دقت مرتبه چهار را حاصل کند حتی در مورد خطای برشی روش ضمنی مسیر متناوب دارای خطای برشی موقت به شکل است.

در حقیقت ، به علت بسط مجانبی روش تقریب در تراز اول که شامل قدرت عجیبی در تراز است یک فرمول برون یابی ریچاردسون بر اساس سه تراز زمانی معرفی میشود.

در فصل اول توضیحاتی درباره معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی و روش های حل آن ها داده می شود. در فصل دوم روش های ضمنی مسیر متناوب و روش های ضمنی مسیر متناوب فشرده و آنالیز و همگرایی آن ها و روش برون یابی ریچاردسون مطرح می شود در فصل سوم  درباره ساخت روش فشرده مرتبه بالای ضمنی مسیر متناوب و آنالیز همگرایی بحث می کنیم و  یک فرمول جدید برون یابی ریچاردسون بر اساس پارامترهای سه ترازی  بدست می آوریم . سپس در فصل چهارم  سه مثال عددی برای آزمایش عملکرد  الگوریتم مطرح می شود و سپس یک نتیجه گیری کلی ارائه خواهیم کرد.

تعداد صفحه : 131

قیمت : 14000تومان

بلافاصله پس از پرداخت ، لینک دانلود پایان نامه به شما نشان داده می شود

و در ضمن فایل خریداری شده به ایمیل شما ارسال می شود.

پشتیبانی سایت :        09361998026        info@arshadha.ir

در صورتی که مشکلی با پرداخت آنلاین دارید می توانید مبلغ مورد نظر برای هر فایل را کارت به کارت کرده و فایل درخواستی و اطلاعات واریز را به ایمیل ما ارسال کنید تا فایل را از طریق ایمیل دریافت کنید.

شماره کارت :  6037997263131360 بانک ملی به نام محمد علی رودسرابی

11

مطالب مشابه را هم ببینید

فایل مورد نظر خودتان را پیدا نکردید ؟ نگران نباشید . این صفحه را نبندید ! سایت ما حاوی حجم عظیمی از پایان نامه های دانشگاهی است. مطالب مشابه را هم ببینید. برای یافتن فایل مورد نظر کافیست از قسمت جستجو استفاده کنید. یا از منوی بالای سایت رشته مورد نظر خود را انتخاب کنید و همه فایل های رشته خودتان را ببینید